Обязательно ли глушить машину на заправке?
Можно ли заправлять бензином авто с работающим двигателем? Или это опасно?

Заправить - можно. Только есть риск, что счётчик покажет вам неправильную цифру - пока работает двигатель, работает и бензонасос, который потихоньку подтягивает топливо из бака.
Ну и второй фактор риска - уехать с пистолетом в бачке. Так-то ритуал срабатывает: вынуть пистолет, закрутить крышку, сесть, завестись, поехать... Если двигатель заведён, то сознание, особенно занятое побочными мыслями, может решить, что предыдущие действия выполнены на автомате, и дать команду нажать педаль газа...
                                                                              

По всем правилам эксплуатации АЗС заправлять машину можно только с выключенным двигателем. Соответствующие знаки установлены на всех заправках. Раньше бы и в голову никому не пришло пренебрегать этим правилом, обязательным для всех.
В России все АЗС работают в рамках нацстандарта, есть прописанные стандарты, по которым отпускается топливо.
Так что, если вы не заглушите двигатель - вам имеют полное право не отпустить топливо в бак, не активировать колонку.
Естественно, все эти правила писались не просто так - существует реальная опасность. Вы никогда не можете знать сколько бензиновых паров скопилось именно в этот момент на АЗС, не проливает ли клиент на соседней колонке мимо бака и т.п. Много случайностей и мелочей, есть простое правило, соблюдая которое можно остаться в безопасности.
Это элементарная техника безопасности.
К тому же, при заправке с работающим двигателем выходить из строя датчик уровня бензина, электроника, так как они не предназначены для эксплуатации авто в таких условиях. Потом у таких "умников" стрелки и не поднимаются, датчики не реагируют. Не сразу, но со временем - точно.
Это всё прописано в книжечке, которая прилагается к автомобилю)

Смотря чем заправлять. Заправка на газовой станции с работающим двигателем запрещена. Более того на АГЗС требуют отключать все электропотребители в автомобиле.
На бензиновых и дизельных АЗС инструкцией по безопасности заправка мотороллеров и мотоциклов при включенном двигателе запрещена. Для автомобилей допускается не выключать двигатель только при низких температурах воздуха.
Кроме того, здравый смысл подсказывает, что когда вы покидаете автомобиль (например, для оплаты топлива), то его лучше не только заглушить, но и, забрав ключи зажигания, запереть.
То же самое обязывают выполнить ПДД РФ:
п. 12.8. Водитель может покидать свое место или оставлять транспортное средство, если им приняты необходимые меры, исключающие самопроизвольное движение транспортного средства или использование его в отсутствие водителя.

Думаю, что глушить машину желательно, даже если это напрямую не запрещается законом. Однако я в инете читал, что по правилам безопасности, при заправке, машину нужно глушить. Более того, не все машины работают нормально. Встречаются проблемы с зажиганием. Также многие видели, как из глушителя у некоторых машин вылетает искра. А это может привести к пожару.

Свежая подборка познавательных статей:

• Как побороть страх водить машину после аварии?
• Автомобили Пежо 307, 308 считаются женскими или это предрассудки?
• Какой бортовой компьютер выбрать в 2017 году?
• Надо ли автоматическую коробку переключать в нейтраль на светофоре?
• Стоит ли поменять обычную крышку бензобака автомобиля на крышку с ключом↓?