Меня волнует один момент: Что нельзя при жильбере

Жильбер — это понятие из математики и функционального анализа, которое часто используется в контексте бесконечномерных пространств. Сам термин происходит от имени французского математика Поля Жильбера, который сделал значительный вклад в развитие функционального анализа в начале 20 века.

Одной из основных концепций в теории Жильбера является понятие базиса. Для бесконечномерного пространства базис не может быть счётным, то есть содержать конечное количество элементов, как это возможно в конечномерном случае. Это приводит к ряду следствий и ограничений, касающихся структуры и операций в бесконечномерных пространствах.

Пример:Рассмотрим пространство всех бесконечно дифференцируемых функций C∞(R)C^\infty(\mathbb{R})C∞(R) на вещественной оси R\mathbb{R}R. Предположим, что в этом пространстве существует счётный базис {fn(x)}n=1∞\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty{fn�(x)}n=1∞�, где каждая функция fn(x)f_n(x)fn�(x) является бесконечно дифференцируемой.

Теперь рассмотрим функцию g(x)=∑n=1∞1nfn(x)g(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} f_n(x)g(x)=∑n=1∞�n1�fn�(x). Эта функция также является бесконечно дифференцируемой в силу своей сходимости в пространстве C∞(R)C^\infty(\mathbb{R})C∞(R).

Однако, если бы базис {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn�(x)} был счётным, то функция g(x)g(x)g(x) также должна была бы представляться в виде линейной комбинации этих базисных функций. Но сумма ∑n=1∞1nfn(x)\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} f_n(x)∑n=1∞�n1�fn�(x) не может быть представлена в виде конечной линейной комбинации, так как ряд ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}∑n=1∞�n1� расходится.

Таким образом, отсутствие конечного базиса в бесконечномерных пространствах, как показано в данном примере, приводит к тому, что некоторые функции в этих пространствах не могут быть представлены в виде конечной линейной комбинации базисных элементов, что является одним из важных ограничений в теории Жильбера.