Один момент остается неясным. 34. Найдите точку пересечения медиан треугольника, если вершинами его служат точки А(7; -4; 5), В(-1; 8; -2) и С(-12; -1; 6).

Пусть АМ медиана, точка О – точка пересечения медиан.

Определим координаты точки М как середины ВС.

Мх = (Вх + Сх)/2 = (-1 + (-12))/2 = -6,5.

Му = (Ву + Су)/2 = (8 + (-1))/2 = 3,5.

Мz = (Bz + Cz)/2 = (-2 + 6)/2 = 2.

Точка О делит медиану АМ в отношении 2/1, АО/ОМ = 2/1.

λ = 2.

Ох = (Ах + λ * Мх)/(1 + λ) = (7 – 13)/3 = -2.

Оу = (Ау + λ * Му)/(1 + λ) = (-4 + 7)/3 = 1.

Оz = (Аz + λ * Мz)/(1 + λ) = (5 + 4)/3 = 3.

Или сразу по формулам:

Ох = (Ах + Вх + Сх)/3.

Оу = (Ау + Ву + Су)/3.

Оz = (Аz + Вz + Сz)/3.

Ответ: (-2; 1; 3).

-------
Для нахождения точки пересечения медиан треугольника нужно найти сначала координаты его центра, а затем провести медианы из вершин треугольника к этой точке.

1) Найдем координаты центра треугольника. Для этого найдем средние значения координат вершин треугольника:

x = (7 - 1 - 12) / 3 =  (-6) / 3 = -2

y = (-4 + 8 - 1) / 3 = 3 / 3 = 1

z = (5 - 2 + 6) / 3 = 9 / 3 = 3

Координаты центра треугольника: D(-2; 1; 3).

2) Теперь найдем точку пересечения медиан треугольника. Для этого проведем медианы из вершин треугольника в центр D.

Медиана из вершины А проводится к середине стороны ВС, которая имеет координаты:

x = (-1 - 12) / 2 = -13/2 = -6.5

y = (8 - 1) / 2 = 7/2 = 3.5

z = (-2 + 6) / 2 = 4 / 2 = 2

Середина стороны ВС: E(-6.5; 3.5; 2).

Медиана из вершины B проводится к середине стороны AC, которая имеет координаты:

x = (7 - 1) / 2 = 6 / 2 = 3

y = (-4 - / 2 = -12 / 2 = -6

z = (5 + 6) / 2 = 11 / 2 = 5.5

Середина стороны AC: F(3; -6; 5.5).

Медиана из вершины C проводится к середине стороны AB, которая имеет координаты:

x = (7 - 12) / 2 = -5 / 2 = -2.5

y = (-4 - 1) / 2 = -5 / 2 = -2.5

z = (5 - 2) / 2 = 3 / 2 = 1.5

Середина стороны AB: G(-2.5; -2.5; 1.5).

Точка пересечения медиан треугольника: P(-2.5; -2.5; 1.5).