Один фактор остаётся непрояснённым. Точка S удалена от всех сторон, равностороннего треугольника на 17 см. Найдите радиус окружно-сти, вписанной в этот треугольник, если расстояние от точки S до плоскости треугольника равно 15

Для решения построим рисунок (https://bit.ly/48MMs1k).

Так как точка S равноудалена от вершин треугольника АВС, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной около треугольника АВС окружности, а так как треугольник АВС равносторонний, то и в центр вписанной окружности.

Тогда точка О центр пересечения высот, биссектрис и медиан.

В прямоугольном треугольнике АSO, по теореме Пифагора, AO^2 = AS^2 – SO^2 = 289 – 225 = 64.

AO = 8 см.

Тогда ОН = r = AO/2 = 8/2 = 4 см.

Ответ: Радиус вписанной окружности 4 см.

-------
Дано: расстояние от точки S до равностороннего треугольника - 17 см, расстояние от точки S до плоскости треугольника - 15 см.

Пусть радиус описанной окружности равно R, а радиус вписанной окружности равно r.

Так как точка S удалена от всех сторон треугольника на 17 см, то она лежит вне этого треугольника. Таким образом, точка S является центром описанной окружности.

Так как точка S также удалена от плоскости треугольника на 15 см, а описанная окружность касается каждой из сторон треугольника, то радиус описанной окружности равен сумме радиуса вписанной окружности и расстояния от центра вписанной окружности до плоскости треугольника:

R = r + 15

Также, так как треугольник равносторонний, все стороны треугольника равны друг другу. Пусть a - длина одной из сторон треугольника. Тогда

a = 2Rsin(30°) = 2R * 0.5 = R

Таким образом, длина стороны, равна радиусу описанной окружности. Подставим это в формулу для радиуса описанной окружности:

R = r + 15
R = r + 15

R = R
15 = r

Радиус вписанной окружности равен 15 см.