По одному вопросу есть неопределённость. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. АВ=4 см, АА1=2см. Найдите угол между плоскостями АВ1С и АВС.

http://bit.ly/2r6xlPD
Так как АВСА1В1С1 - правильная треугольная призма, то АВС и А1В1С1 - равные правильные треугольники, со сторонами АВ = ВС = АС = А1В1 = В1С1 = А1С1 - 4 см. Боковые грани АВВ1А1 = АСС1А1 = ВСС1В1 - прямоугольники, в которых ширина (АА1 = ВВ1 = СС1) равна 2 см, а длина 4 см.
1. Плоскость АВ1С представляет собой равнобедренный треугольник АСВ1 (так как ео стороны В1А и В1 С являются диагоналями равных прямоугольников).
Найдем длину В1С по теореме Пифагора из треугольника СВВ1:
В1С = √(ВС^2 + BB1^2);
В1С = √(4^2 + 2^2) = √(16 + 4) = √20 = 2√5 (см).
2. Так как АВ1С - равнобедренный треугольник, то В1Н - это и высота, и медиана, тогда АН = СН = АС/2. По теореме Пифагора найдем длину В1Н из прямоугольного треугольника В1НС:
В1Н = √(В1С^2 - (АС/2)^2);
В1Н = √((2√5)^2 - (4/2)^2) = √(4*5 - 2^2) = √(20 - 4) = √16 = 4 (см).
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник В1ВН. В1В = 2 см - катет, ВН = 2√3 см - катет, В1Н = 4 см - гипотенуза (так как лежит напротив прямого угла).
Угол между плоскостями АВС и АВ1С - это угол между высотой В1Н и ВН, то есть угол В1НВ.
Синус угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Синус угла В1НВ между плоскостями АВ1С и АВС будет равен:
sinB1HB = B1B/B1H;
sinB1HB = 2/4 = 1/2.
Угол B1HB = 30 градусов.
Ответ: угол B1HB = 30 градусов.