Такой вопрос. В треугольнике ABC известно, что угол С= 90*, угол А=30*, отрезок BM- биссектриса треугольника. найдите катет AC, если BM= 6 см.

Для решения построим рисунок (https://bit.ly/3JCzt6Y

).


В прямоугольном треугольнике сумма его острых углов равна 900

, тогда угол АВС = (90 – ВАС) = (90 – 30) = 600

.


По условию, ВМ биссектриса угла АВС, тогда угол СВМ = АВМ = АВС / 2 = 60 / 2 = 300

.


Тогда треугольник АВМ равнобедренный, АМ = ВМ = 6 см, а угол АМВ = 180 – 30 – 30 = 1200

.


По теореме косинусов, в треугольнике АВМ, определим длину стороны АВ.


AB^2 = AM^2 + BM^2 – 2 * AM * BM * Cos120 = 36 + 36 – 2 * 6 * 6 * (-1/2) = 72 + 36 = 108;


AB = 6 * √3 см.


В прямоугольном треугольнике АВС, CosBAC = AC / AB.


AC = AB * Cos30 = 6 * √3 (√3/2) = 3 * 3 = 9 см.


Ответ: Длина катета АС равна 9 см.