Вопрос такого характера. В треугольнике ABC сторона AB=8, BC=16, AC=12. BD - биссектриса угла ABC. Найдите длину стороны AD

Для решения построим рисунок (https://bit.ly/42jxNJi).

Так как ВД биссектриса, то она делит сторону АС на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам.

Пусть АД = Х см, тогда СД = (12 – Х) см.

Х/АВ = (12 – Х)/ВС;

Х/8 = (12 – Х)/16.

Х = (12 – Х)/2;

2 * Х = 12 – Х;

3 * Х = 12;

Х = АД = 4 см.

Ответ: АД = 4 см.

-------
из свойств биссектрисы AD/AB = DC/BC

AD = 8*AC / (8+12)

Sabc = 8*12*sin (30) / 2 = 96/4 = 24=AC*h/2

h = 24*2/AC

Sadb = AD*h/2 = 8/20*AC*48/AC*1/2 = 9.6