Одно обстоятельство требует уточнения. В треугольнике CDE точка М лежит на стороне СЕ, причем угол CMD острый. Докажите, DE болеше DM

Для доказательства рассматриваем треугольник МDЕ , который получился внутри треугольника СDЕ . Так как угол DМС острый, то смежный с ним угол DМЕ тупой , то есть больше 90 градусов.
Теперь рассматриваем треугольник МDЕ в части , какие стороны лежат против каких углов.
Сторона DЕ лежит против тупого угла DМЕ , который мы уже рассмотрели.Сторона МD находится против острого угла DЕМ ( так как два тупых угла в треугольнике МDЕ быть не может.
Вспомним правило : большая сторона в треугольнике находится против большего угла . Значит , сторона DЕ , находящаяся против большего угла DМE больше стороны МD , лежащей против острого угла МЕD.

-------
Чертим произвольный треугольник CDE с точкой М согласно условию задачи


Чтобы чертеж  соответствовал условию задачи, можно начать с построения треугольника CDM:



чертим треугольник CDM, у которого угол CMD острый;


продлеваем сторону СМ на любое расстояние и ставим точку Е;


соединяем отрезком точки Е и D.





Таким образом, получен заданный треугольник CDE.  http://bit.ly/2Bbgtcl


 


Докажем что отрезок DE больше отрезка DM


Поскольку оба отрезка (DE и DM) являются сторонами треугольника DEM, то нужно подробнее проанализировать именно его.


 


Поскольку точка М расположена на отрезке СЕ, то углы СМD и DME вместе составляют развернутый угол СМЕ, который равен 180 градусов. По условию задачи угол СМD острый, допустим, он равен а градусов. Острый угол означает, что аугол DME = 180 – угол СМD = 180 – а.


Так как  а  90. Следовательно,  Угол DME тупой.


 


По свойству треугольника сумма всех его сторон равна 180 градусов, тогда:


Угол MDE + Угол DEM + Угол DME = 180;


Угол MDE + Угол DEM + (180 - а) = 180;


Угол MDE + Угол DEM = 180 - (180 - а) = а.


Из последнего равенства следует, что углы MDE и DEM оба острые, а значит каждый из них меньше угла DME.


 


По свойству  треугольников против большего угла находится большая сторона


Так как Угол DME > Угла DEM и сторона DE расположена напротив угла  DME , DM – напротив DEM, то DE больше DM, что и требовалось доказать.