Как начать доказывать теоремы: простые шаги для начинающих. Практические советы по доказательству теорем для всех, кто хочет стать математиком

Научиться доказывать теоремы – это процесс, требующий терпения, упорства и понимания основ математики. Вот подробный план, который поможет вам в этом:

• 
  
  Освойте базовые понятия:
  
   Прежде чем приступать к доказательствам, убедитесь, что вы хорошо понимаете базовые понятия математики, такие как логика, множества, отношения, функции и др. Это позволит вам лучше понимать структуру и свойства объектов, с которыми вы будете работать.
  
  
• 
  
  Изучите методы доказательств:
  
   Существует множество методов доказательств, таких как индукция, от противного, доказательства по определению, доказательства методом прямого вывода и т.д. Ознакомьтесь с каждым из них и попробуйте понять, в каких случаях какой метод эффективен.
  
  
• 
  
  Читайте примеры:
  
   Чтение примеров доказательств поможет вам лучше понять, как они строятся. Вы можете найти примеры в учебниках, статьях, онлайн-курсах и видеоуроках.
  
  
• 
  
  Практикуйтесь:
  
   Практика – ключевой элемент в освоении навыков доказательства теорем. Начните с простых утверждений и постепенно переходите к более сложным. Попробуйте доказывать как известные, так и неизвестные теоремы.
  
  
• 
  
  Анализируйте ошибки:
  
   Ошибки – это неизбежная часть процесса обучения. Когда вы делаете ошибку в доказательстве, старайтесь понять, где именно вы допустили ошибку и почему. Это поможет вам избегать их в будущем.
  
  
• 
  
  Сотрудничайте с другими:
  
   Обсуждение доказательств с другими студентами или математиками может принести много пользы. Они могут предложить новые идеи или подсказать вам, если вы застряли на каком-то шаге.
  
  
• 
  
  Не бойтесь экспериментировать:
  
   Иногда нестандартные подходы могут привести к интересным результатам. Не бойтесь экспериментировать и искать неочевидные решения.
  
  

Пример доказательства:




Предположим, что вам нужно доказать следующее утверждение:

 "Сумма первых
//www.w3.org/1998/Math/MathML">nn
 0.4306em;">n нечетных чисел равна
//www.w3.org/1998/Math/MathML">n2n^2
 0.8141em;">n
 0.8141em;">
 -3.063em; margin-right:

 0.05em;">
 2.7em;">2".

• 
  
  Базовый шаг:
  
   Проверьте утверждение для
  //www.w3.org/1998/Math/MathML">n=1n = 1
   0.4306em;">n
   0.2778em;">=
   0.2778em;">
   0.6444em;">1.
  
  
  • Сумма первого нечетного числа (
    //www.w3.org/1998/Math/MathML">2n−12n - 1
     0.7278em; vertical-align:
    
     -0.0833em;">2n
     0.2222em;">−
     0.2222em;">
     0.6444em;">1) равна самому числу:
    
     
    //www.w3.org/1998/Math/MathML">2(1)−1=12(1) - 1 = 1
     1em; vertical-align:
    
     -0.25em;">2(1)
     0.2222em;">−
     0.2222em;">
     0.6444em;">1
     0.2778em;">=
     0.2778em;">
     0.6444em;">1.
  • 
    //www.w3.org/1998/Math/MathML">n2=12=1n^2 = 1^2 = 1
     0.8141em;">n
     0.8141em;">
     -3.063em; margin-right:
    
     0.05em;">
     2.7em;">2
     0.2778em;">=
     0.2778em;">
     0.8141em;">1
     0.8141em;">
     -3.063em; margin-right:
    
     0.05em;">
     2.7em;">2
     0.2778em;">=
     0.2778em;">
     0.6444em;">1.
  • Утверждение верно для
    //www.w3.org/1998/Math/MathML">n=1n = 1
     0.4306em;">n
     0.2778em;">=
     0.2778em;">
     0.6444em;">1.
• 
  
  Предположение индукции:
  
   Предположим, что утверждение верно для некоторого
  //www.w3.org/1998/Math/MathML">kk
   0.6944em;">
   0.03148em;">k. То есть сумма первых
  //www.w3.org/1998/Math/MathML">kk
   0.6944em;">
   0.03148em;">k нечетных чисел равна
  //www.w3.org/1998/Math/MathML">k2k^2
   0.8141em;">
   0.03148em;">k
   0.8141em;">
   -3.063em; margin-right:
  
   0.05em;">
   2.7em;">2.
  
  
• 
  
  Шаг индукции:
  
   Докажем, что утверждение верно и для
  //www.w3.org/1998/Math/MathML">k+1k + 1
   0.7778em; vertical-align:
  
   -0.0833em;">
   0.03148em;">k
   0.2222em;">+
   0.2222em;">
   0.6444em;">1.
  
  
  • Сумма первых
    //www.w3.org/1998/Math/MathML">k+1k + 1
     0.7778em; vertical-align:
    
     -0.0833em;">
     0.03148em;">k
     0.2222em;">+
     0.2222em;">
     0.6444em;">1 нечетных чисел:
    
     
    //www.w3.org/1998/Math/MathML">1+3+5+...+(2k−1)+(2(k+1)−1)1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1)
     0.7278em; vertical-align:
    
     -0.0833em;">1
     0.2222em;">+
     0.2222em;">
     0.7278em; vertical-align:
    
     -0.0833em;">3
     0.2222em;">+
     0.2222em;">
     0.7278em; vertical-align:
    
     -0.0833em;">5
     0.2222em;">+
     0.2222em;">
     0.6667em; vertical-align:
    
     -0.0833em;">...
     0.2222em;">+
     0.2222em;">
     1em; vertical-align:
    
     -0.25em;">(2
     0.03148em;">k
     0.2222em;">−
     0.2222em;">
     1em; vertical-align:
    
     -0.25em;">1)
     0.2222em;">+
     0.2222em;">
     1em; vertical-align:
    
     -0.25em;">(2(
     0.03148em;">k
     0.2222em;">+
     0.2222em;">
     1em; vertical-align:
    
     -0.25em;">1)
     0.2222em;">−
     0.2222em;">
     1em; vertical-align:
    
     -0.25em;">1).
  • Это равно сумме первых
    //www.w3.org/1998/Math/MathML">kk
     0.6944em;">
     0.03148em;">k нечетных чисел плюс
    //www.w3.org/1998/Math/MathML">(2(k+1)−1)(2(k + 1) - 1)
     1em; vertical-align:
    
     -0.25em;">(2(
     0.03148em;">k
     0.2222em;">+
     0.2222em;">
     1em; vertical-align:
    
     -0.25em;">1)
     0.2222em;">−
     0.2222em;">
     1em; vertical-align:
    
     -0.25em;">1).
  • По предположению индукции сумма первых
    //www.w3.org/1998/Math/MathML">kk
     0.6944em;">
     0.03148em;">k нечетных чисел равна
    //www.w3.org/1998/Math/MathML">k2k^2
     0.8141em;">
     0.03148em;">k
     0.8141em;">
     -3.063em; margin-right:
    
     0.05em;">
     2.7em;">2.
  • Таким образом, сумма первых
    //www.w3.org/1998/Math/MathML">k+1k + 1
     0.7778em; vertical-align:
    
     -0.0833em;">
     0.03148em;">k
     0.2222em;">+
     0.2222em;">
     0.6444em;">1 нечетных чисел равна
    //www.w3.org/1998/Math/MathML">k2+(2(k+1)−1)k^2 + (2(k + 1) - 1)
     0.8974em; vertical-align:
    
     -0.0833em;">
     0.03148em;">k
     0.8141em;">
     -3.063em; margin-right:
    
     0.05em;">
     2.7em;">2
     0.2222em;">+
     0.2222em;">
     1em; vertical-align:
    
     -0.25em;">(2(
     0.03148em;">k
     0.2222em;">+
     0.2222em;">
     1em; vertical-align:
    
     -0.25em;">1)
     0.2222em;">−
     0.2222em;">
     1em; vertical-align:
    
     -0.25em;">1).
  • Раскрывая скобки, получаем:
    
     
    //www.w3.org/1998/Math/MathML">k2+2k+1k^2 + 2k + 1
     0.8974em; vertical-align:
    
     -0.0833em;">
     0.03148em;">k
     0.8141em;">
     -3.063em; margin-right:
    
     0.05em;">
     2.7em;">2
     0.2222em;">+
     0.2222em;">
     0.7778em; vertical-align:
    
     -0.0833em;">2
     0.03148em;">k
     0.2222em;">+
     0.2222em;">
     0.6444em;">1.
  • Это равно
    //www.w3.org/1998/Math/MathML">(k+1)2(k + 1)^2
     1em; vertical-align:
    
     -0.25em;">(
     0.03148em;">k
     0.2222em;">+
     0.2222em;">
     1.0641em; vertical-align:
    
     -0.25em;">1)
     0.8141em;">
     -3.063em; margin-right:
    
     0.05em;">
     2.7em;">2.
  • Значит, утверждение верно и для
    //www.w3.org/1998/Math/MathML">k+1k + 1
     0.7778em; vertical-align:
    
     -0.0833em;">
     0.03148em;">k
     0.2222em;">+
     0.2222em;">
     0.6444em;">1.

Таким образом, по принципу математической индукции доказано, что сумма первых
//www.w3.org/1998/Math/MathML">nn
 0.4306em;">n нечетных чисел равна
//www.w3.org/1998/Math/MathML">n2n^2
 0.8141em;">n
 0.8141em;">
 -3.063em; margin-right:

 0.05em;">
 2.7em;">2 для любого неотрицательного целого числа
//www.w3.org/1998/Math/MathML">nn
 0.4306em;">n.

Другие интересные статьи по теме:

• Как быстро научиться решать дроби
• Как научиться играть барре
• Как научиться делать геликоптер
• Как научиться быть внимательным
• Научиться плавать кролем самостоятельно пошагово как