Основные правила: как решать неопределенные интегралы. Шаг за шагом: практическое руководство по решению интегралов

Неопределенный интеграл является обратной операцией к дифференцированию. Решение неопределенного интеграла позволяет найти функцию, производная которой равна заданной функции. Для нахождения неопределенного интеграла используются различные методы, включая правила интегрирования, подстановки, частные случаи, и прочее.


Прежде чем рассмотреть пример, давайте вспомним базовые правила интегрирования:

• 
  
  Степенное правило:
  
  
  
  //www.w3.org/1998/Math/MathML">∫xn dx=1n+1xn+1+C,\int x^n \,dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C,
   1.1111em; vertical-align:
  
   -0.3061em;">
   0.19445em; position:
  
   relative; top:
  
   -0.0006em;">∫
   0.1667em;">x
   0.6644em;">
   -3.063em; margin-right:
  
   0.05em;">
   2.7em;">n
   0.1667em;">dx
   0.2778em;">=
   0.2778em;">
   1.2484em; vertical-align:
  
   -0.4033em;">
   0.8451em;">
   -2.655em;">
   3em;">n+1
   -3.23em;">
   3em;">
   0.04em;">
   -3.394em;">
   3em;">1�
   0.4033em;">x
   0.8141em;">
   -3.063em; margin-right:
  
   0.05em;">
   2.7em;">n+1
   0.2222em;">+
   0.2222em;">
   0.8778em; vertical-align:
  
   -0.1944em;">
   0.07153em;">C,
  где
  //www.w3.org/1998/Math/MathML">nn
   0.4306em;">n - любое вещественное число, отличное от -1, и
  //www.w3.org/1998/Math/MathML">CC
   0.6833em;">
   0.07153em;">C - постоянная интегрирования.
  
  
• 
  
  Линейное правило:
  
  
  
  //www.w3.org/1998/Math/MathML">∫(af(x)+bg(x)) dx=a∫f(x) dx+b∫g(x) dx,\int (af(x) + bg(x)) \,dx = a \int f(x) \,dx + b \int g(x) \,dx,
   1.1111em; vertical-align:
  
   -0.3061em;">
   0.19445em; position:
  
   relative; top:
  
   -0.0006em;">∫(a
   0.10764em;">f(x)
   0.2222em;">+
   0.2222em;">
   1em; vertical-align:
  
   -0.25em;">b
   0.03588em;">g(x))
   0.1667em;">dx
   0.2778em;">=
   0.2778em;">
   1.1111em; vertical-align:
  
   -0.3061em;">a
   0.1667em;">
   0.19445em; position:
  
   relative; top:
  
   -0.0006em;">∫
   0.1667em;">
   0.10764em;">f(x)
   0.1667em;">dx
   0.2222em;">+
   0.2222em;">
   1.1111em; vertical-align:
  
   -0.3061em;">b
   0.1667em;">
   0.19445em; position:
  
   relative; top:
  
   -0.0006em;">∫
   0.1667em;">
   0.03588em;">g(x)
   0.1667em;">dx,
  где
  //www.w3.org/1998/Math/MathML">aa
   0.4306em;">a и
  //www.w3.org/1998/Math/MathML">bb
   0.6944em;">b - константы.
  
  
• 
  
  Экспоненциальное правило:
  
  
  
  //www.w3.org/1998/Math/MathML">∫ekx dx=1kekx+C,\int e^{kx} \,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C,
   1.1552em; vertical-align:
  
   -0.3061em;">
   0.19445em; position:
  
   relative; top:
  
   -0.0006em;">∫
   0.1667em;">e
   0.8491em;">
   -3.063em; margin-right:
  
   0.05em;">
   2.7em;">
   0.03148em;">kx
   0.1667em;">dx
   0.2778em;">=
   0.2778em;">
   1.1941em; vertical-align:
  
   -0.345em;">
   0.8451em;">
   -2.655em;">
   3em;">
   0.03148em;">k
   -3.23em;">
   3em;">
   0.04em;">
   -3.394em;">
   3em;">1�
   0.345em;">e
   0.8491em;">
   -3.063em; margin-right:
  
   0.05em;">
   2.7em;">
   0.03148em;">kx
   0.2222em;">+
   0.2222em;">
   0.8778em; vertical-align:
  
   -0.1944em;">
   0.07153em;">C,
  где
  //www.w3.org/1998/Math/MathML">kk
   0.6944em;">
   0.03148em;">k - константа.
  
  
• 
  
  Логарифмическое правило:
  
  
  
  //www.w3.org/1998/Math/MathML">∫1x dx=ln�∣x∣+C.\int \frac{1}{x} \,dx = \ln |x| + C.
   1.1901em; vertical-align:
  
   -0.345em;">
   0.19445em; position:
  
   relative; top:
  
   -0.0006em;">∫
   0.1667em;">
   0.8451em;">
   -2.655em;">
   3em;">x
   -3.23em;">
   3em;">
   0.04em;">
   -3.394em;">
   3em;">1�
   0.345em;">
   0.1667em;">dx
   0.2778em;">=
   0.2778em;">
   1em; vertical-align:
  
   -0.25em;">ln
   0.1667em;">∣x∣
   0.2222em;">+
   0.2222em;">
   0.6833em;">
   0.07153em;">C.
  
  

Теперь давайте рассмотрим пример. Решим следующий интеграл:





//www.w3.org/1998/Math/MathML">∫(3x2+2x+1) dx.\int (3x^2 + 2x + 1) \,dx.
 1.1202em; vertical-align:

 -0.3061em;">
 0.19445em; position:

 relative; top:

 -0.0006em;">∫(3x
 0.8141em;">
 -3.063em; margin-right:

 0.05em;">
 2.7em;">2
 0.2222em;">+
 0.2222em;">
 0.7278em; vertical-align:

 -0.0833em;">2x
 0.2222em;">+
 0.2222em;">
 1em; vertical-align:

 -0.25em;">1)
 0.1667em;">dx.


Применим линейное правило интегрирования:





//www.w3.org/1998/Math/MathML">∫(3x2+2x+1) dx=∫3x2 dx+∫2x dx+∫1 dx.\int (3x^2 + 2x + 1) \,dx = \int 3x^2 \,dx + \int 2x \,dx + \int 1 \,dx.
 1.1202em; vertical-align:

 -0.3061em;">
 0.19445em; position:

 relative; top:

 -0.0006em;">∫(3x
 0.8141em;">
 -3.063em; margin-right:

 0.05em;">
 2.7em;">2
 0.2222em;">+
 0.2222em;">
 0.7278em; vertical-align:

 -0.0833em;">2x
 0.2222em;">+
 0.2222em;">
 1em; vertical-align:

 -0.25em;">1)
 0.1667em;">dx
 0.2778em;">=
 0.2778em;">
 1.1202em; vertical-align:

 -0.3061em;">
 0.19445em; position:

 relative; top:

 -0.0006em;">∫
 0.1667em;">3x
 0.8141em;">
 -3.063em; margin-right:

 0.05em;">
 2.7em;">2
 0.1667em;">dx
 0.2222em;">+
 0.2222em;">
 1.1111em; vertical-align:

 -0.3061em;">
 0.19445em; position:

 relative; top:

 -0.0006em;">∫
 0.1667em;">2x
 0.1667em;">dx
 0.2222em;">+
 0.2222em;">
 1.1111em; vertical-align:

 -0.3061em;">
 0.19445em; position:

 relative; top:

 -0.0006em;">∫
 0.1667em;">1
 0.1667em;">dx.


Теперь используем степенное правило для каждого члена:





//www.w3.org/1998/Math/MathML">13x3+x2+x+C,\frac{1}{3}x^3 + x^2 + x + C,
 1.1901em; vertical-align:

 -0.345em;">
 0.8451em;">
 -2.655em;">
 3em;">3
 -3.23em;">
 3em;">
 0.04em;">
 -3.394em;">
 3em;">1�
 0.345em;">x
 0.8141em;">
 -3.063em; margin-right:

 0.05em;">
 2.7em;">3
 0.2222em;">+
 0.2222em;">
 0.8974em; vertical-align:

 -0.0833em;">x
 0.8141em;">
 -3.063em; margin-right:

 0.05em;">
 2.7em;">2
 0.2222em;">+
 0.2222em;">
 0.6667em; vertical-align:

 -0.0833em;">x
 0.2222em;">+
 0.2222em;">
 0.8778em; vertical-align:

 -0.1944em;">
 0.07153em;">C,


где
//www.w3.org/1998/Math/MathML">CC
 0.6833em;">
 0.07153em;">C - постоянная интегрирования.


Таким образом, неопределенный интеграл
//www.w3.org/1998/Math/MathML">∫(3x2+2x+1) dx\int (3x^2 + 2x + 1) \,dx
 1.1202em; vertical-align:

 -0.3061em;">
 0.19445em; position:

 relative; top:

 -0.0006em;">∫(3x
 0.8141em;">
 -3.063em; margin-right:

 0.05em;">
 2.7em;">2
 0.2222em;">+
 0.2222em;">
 0.7278em; vertical-align:

 -0.0833em;">2x
 0.2222em;">+
 0.2222em;">
 1em; vertical-align:

 -0.25em;">1)
 0.1667em;">dx равен
//www.w3.org/1998/Math/MathML">13x3+x2+x+C\frac{1}{3}x^3 + x^2 + x + C
 1.1901em; vertical-align:

 -0.345em;">
 0.8451em;">
 -2.655em;">
 3em;">3
 -3.23em;">
 3em;">
 0.04em;">
 -3.394em;">
 3em;">1�
 0.345em;">x
 0.8141em;">
 -3.063em; margin-right:

 0.05em;">
 2.7em;">3
 0.2222em;">+
 0.2222em;">
 0.8974em; vertical-align:

 -0.0833em;">x
 0.8141em;">
 -3.063em; margin-right:

 0.05em;">
 2.7em;">2
 0.2222em;">+
 0.2222em;">
 0.6667em; vertical-align:

 -0.0833em;">x
 0.2222em;">+
 0.2222em;">
 0.6833em;">
 0.07153em;">C, где
//www.w3.org/1998/Math/MathML">CC
 0.6833em;">
 0.07153em;">C - произвольная константа.

Дополнительные интересные материалы для чтения:

• Как можно научится делать заднее сальто
• Как научиться правильно и четко разговаривать
• Как научиться читать битбокс
• Как научиться танцевать камажай
• Как научиться правильно ставить ударение в словах