Как научиться решать симплекс методом

Автор ZhanBratan, Март 28, 2024, 20:09

« назад - далее »

ZhanBratan

Простой гид по освоению симплекс-метода. Шаг за шагом: научитесь решать задачи симплекс-методом

Lra_viva



Симплекс-метод является одним из основных алгоритмов линейного программирования, применяемым для нахождения оптимального решения задачи линейного программирования. Он основан на движении по вершинам многогранника допустимых решений. В данном ответе я представлю шаг за шагом, как освоить симплекс-метод с помощью примера.

Пример задачи:
Предположим, у вас есть следующая задача оптимизации:

Максимизировать функцию Z = 3x1 + 5x2

При ограничениях:

  • 2x1 + x2 ≤ 10
  • x1 + 3x2 ≤ 12
  • x1, x2 ≥ 0
Шаг 1: Подготовка к решению задачи

Прежде всего, перепишем ограничения в стандартной форме линейной программы:

  • 2x1 + x2 + x3 = 10
  • x1 + 3x2 + x4 = 12
Где x3 и x4 - дополнительные переменные, добавленные для приведения ограничений к стандартной форме. Теперь наша целевая функция принимает вид: Z = 3x1 + 5x2 + 0x3 + 0x4.

Следующий шаг - создание таблицы для симплекс-метода.

Шаг 2: Создание начальной таблицы

<table><thead><tr><th>Базис</th><th>x1</th><th>x2</th><th>x3</th><th>x4</th><th>Правая часть</th></tr></thead><tbody><tr><td>x3</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>10</td></tr><tr><td>x4</td><td>1</td><td>3</td><td>0</td><td>1</td><td>12</td></tr><tr><td>Z</td><td>-3</td><td>-5</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>Шаг 3: Выбор разрешающего столбца и строки

Выберем разрешающий столбец, который соответствует наименьшему значению коэффициента в строке Z (в данном случае это столбец x1).

Далее, выберем разрешающую строку, которая определяется как минимальное положительное значение отношения правой части к значению элемента в разрешающем столбце. В нашем примере, для столбца x1 это соотношение равно 10/2 = 5. Для столбца x2 это соотношение равно 12/3 = 4. Минимальное из этих значений - 4, поэтому выбираем строку x4.

Шаг 4: Преобразование таблицы

Мы используем элемент x1 из строки x4 как разрешающий элемент. Для этого делим каждый элемент в строке x4 на 3.

<table><thead><tr><th>Базис</th><th>x1</th><th>x2</th><th>x3</th><th>x4</th><th>Правая часть</th></tr></thead><tbody><tr><td>x3</td><td>2</td><td>1/3</td><td>1</td><td>0</td><td>10</td></tr><tr><td>x1</td><td>1</td><td>1/3</td><td>0</td><td>1/3</td><td>4</td></tr><tr><td>Z</td><td>0</td><td>-2/3</td><td>0</td><td>-1/3</td><td>-20</td></tr></tbody></table>Далее, проводим элементарные преобразования таким образом, чтобы получить единичную матрицу в столбце разрешающего элемента (x1) и нули в этом столбце во всех остальных строках.

<table><thead><tr><th>Базис</th><th>x1</th><th>x2</th><th>x3</th><th>x4</th><th>Правая часть</th></tr></thead><tbody><tr><td>x3</td><td>0</td><td>1/3</td><td>1</td><td>-2/3</td><td>8</td></tr><tr><td>x1</td><td>1</td><td>1/3</td><td>0</td><td>1/3</td><td>4</td></tr><tr><td>Z</td><td>0</td><td>-2/3</td><td>0</td><td>-1/3</td><td>-20</td></tr></tbody></table>Теперь столбец x1 становится базисом, а столбец x4 выходит из базиса.

Шаг 5: Проверка оптимальности и итерации

Мы проверяем, есть ли отрицательные значения в строке Z (кроме самой функции Z). В данном случае -2/3 и -1/3. Это означает, что решение еще не оптимально. Нам нужно продолжать итерации.

Повторяем процесс, начиная с выбора разрешающего столбца и строки, до тех пор, пока не получим оптимальное решение.

Процесс итераций и выбора разрешающего элемента продолжается до тех пор, пока не достигнем оптимального решения.

Таким образом, приведенный выше пример демонстрирует базовые шаги симплекс-метода для решения задачи линейного программирования. Ключевым в этом методе является систематическое движение по углам многогранника допустимых решений с целью нахождения оптимального решения.