Один пункт нуждается в пояснении. Валентина вырастила розы для того, чтобы весной высадить их в саду в клумбу прямоугольной формы. Если бы Валя садила цветы по 10 штук на квадратной клумбе, то роз было бы недостаточно. Если в прямоугольной клумбе в каждом ряду посадить по 9 роз, то останется неполный ряд, в котором будет на 6 роз меньше, чем в неполном ряду, который получился бы, если бы Валентина садила по 8 роз на каждом ряду. Какое количество роз вырастила Валентина для сада?

Способ 1.

Пусть клумба с рядами по 9 роз будет первая, а с рядами по 8 роз - вторая.

Если сажать по 9 или 8 роз, в клумбе последний ряд останется неполным. Во втором случае этот ряд на 6 больше, чем в первом. Почему так происходит? Если сажаем цветы в первую клумбу, на один ряд уходит 9 цветов. Если сажаем цветы во вторую клумбу, на один ряд уходит 8 цветов. То есть 1 цветок (9 - 8 = 1) остается в запасе и будет высажен в последний ряд. Раз таких цветов 6, значит, в обоих случаях цветы высажены в 7 рядов - 6 полных и 1 неполный.

Значит, в первой клумбе 9 * 6 = 54 розы и остаток, а во второй 8 * 6 = 48 роз и остаток. Остаток во второй клумбе на 6 цветов больше, чем в первой. То есть, если в первой клумбе в неполном ряду 1 цветок, то во второй - 7 цветов. Если в первом случае 2 цветка, то во втором - уже 8. Но 8 быть не может, так как тогда это уже будет полный ряд. Значит, остатки - 1 и 7 соответственно.

Тогда цветов всего: 54 + 1 = 55 или 48 + 7 = 55.

Столько роз вырастила Валентина для сада.

Ответ: 55 роз.

Способ 2.

Если бы Валя садила цветы в квадратную клумбу, то рядов и цветов в каждом ряду было бы одинаковое количество. То есть, 10 рядов по 10 цветов в каждом, а это 10 * 10 = 100 роз. Но саженцев у Вали недостаточно, значит, всего цветов меньше 100 (но, видимо, больше 10).

Если взять прямоугольную клумбу и сажать по 9 цветов в каждом ряду, то, в зависимости от количества рядов (которое нам неизвестно), в клумбе будет столько мест под цветы (не самих цветов, а именно мест под них): 9*2 = 18, 9*3 = 27 и т.д. То есть: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99.

Те же самые вычисления проведём с рядами по 8 роз: 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96.

Пусть количество роз - это Х. Рядов по 9 роз, не считая неполного - Y, рядов по 8 роз, не считая неполного - Z.

Мы сравниваем неполные ряды, т.к. во втором цветов на 6 больше. Уравнение будет выглядеть так:

X - 9Y - столько цветов в неполном ряду в первой клумбе. X - 8Z - во второй.

Х - 9Y + 6 = X - 8Z

Решаем.

9Y - 6 = 8Z

Посмотрим на ряды выше и сравним их, чтобы найти числа, которые подойдут под данное уравнение.

18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99
16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96

Это числа 54 и 48:

54 - 6 = 48

Значит, в обеих клумбах цветы высажены в 7 рядов (6 полных и 1 неполный). В первой их больше 54 (6 рядов), но меньше 63 (7 полных рядов), во второй больше 48, но меньше 56. Посмотрим в виде неравенств:

54 < Х < 63
48 < Х < 56

Цветов в клумбах одинаковое количество, так что объединяем неравенства.

54 < Х < 56

Получаем единственный возможный ответ: 55 цветов.

Ответ: 55 роз.