Было бы любопытно разузнать. На берегу какой падеж

Это именно предложный падеж. Напомню, чтобы определить падеж существительного ему необходимо задать падежный вопрос. В данном случае вопрос "На чем?". На данный вопрос отвечают существительные именно предложного падежа. И данный падеж употребляется с предлогом "на".