Что такое производная и дифференциал? Простыми словами: как они различаются?

Дифференциал и производная - это два основных понятия в математике, связанные с изучением изменения функций. Хотя они взаимосвязаны, они представляют разные концепции.

Производная:
Производная функции в точке представляет собой скорость изменения этой функции в этой точке. Формально, производная функции f(x)f(x)f(x) в точке x0x_0x0� определяется как предел отношения изменения функции к изменению аргумента при стремлении изменения аргумента к нулю:
f′(x0)=lim�h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}f′(x0�)=limh→0�hf(x0�+h)−f(x0�)�


Дифференциал:
Дифференциал функции в точке представляет собой приближенное изменение значения этой функции в этой точке, связанное с изменением ее аргумента. Дифференциал dydydy функции f(x)f(x)f(x) в точке x0x_0x0� определяется следующим образом:
dy=f′(x0)⋅dxdy = f'(x_0) \cdot dxdy=f′(x0�)⋅dx
Здесь dxdxdx - это изменение аргумента функции, а f′(x0)f'(x_0)f′(x0�) - значение производной функции в этой точке. Дифференциал можно интерпретировать как приращение функции, которое приблизительно равно произведению производной функции в этой точке на изменение аргумента.

Пример:

Пусть у нас есть функция f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2. Ее производная равна f′(x)=2xf'(x) = 2xf′(x)=2x. Теперь давайте рассмотрим точку x0=3x_0 = 3x0�=3 и изменение аргумента dx=0.1dx = 0.1dx=0.1.

Производная:
Подставляя значения в формулу производной, получаем:
f′(3)=2⋅3=6f'(3) = 2 \cdot 3 = 6f′(3)=2⋅3=6
Это означает, что скорость изменения функции f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2 в точке x=3x = 3x=3 составляет 666 единиц функции на единицу аргумента.


Дифференциал:
Используя значение производной и изменение аргумента, получаем дифференциал:
dy=6⋅0.1=0.6dy = 6 \cdot 0.1 = 0.6dy=6⋅0.1=0.6
Это означает, что при изменении аргумента на 0.10.10.1, значение функции f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2 в точке x=3x = 3x=3 приблизительно изменится на 0.60.60.6.

Ещё несколько любопытных статей на заметку:

• Чем интервал отличается от промежутка
• Чем отличается астигматизм от близорукости
• Чем отличается вахта от командировки
• Чем отличается эвм от пк
• Чем отличается амоксиклав от аугментина