Что такое дивергенция и градиент? В чем разница между дивергенцией и градиентом?

Дивергенция и градиент - это два основных понятия в математике, используемые в анализе векторных полей, таких как векторные поля скорости в физике или векторные поля градиента функций в математическом анализе. Давайте рассмотрим их определения и различия, а также приведем пример для наглядности.

Градиент



Градиент - это вектор, который указывает на направление наибольшего возрастания функции в заданной точке.

Для скалярной функции f

(

x

,

y

,

z

)



f(x, y, z)









f

(

x

,



y

,



z

)









, градиент обычно обозначается ∇

f



\nabla f









∇

f









 и определяется как
∇

f

=

(

∂

f



∂

x





,

∂

f



∂

y





,

∂

f



∂

z





)





\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)









∇

f



=







(







∂

x















∂

f









�

















,







∂

y















∂

f









�

















,







∂

z















∂

f









�

















)















Этот вектор указывает на направление наискорейшего роста функции, а его длина (норма) определяет скорость изменения функции в этом направлении.





Дивергенция



Дивергенция - это оператор, который измеряет, насколько поле векторов "расходится" из заданной точки.

Для векторного поля F

(

x

,

y

,

z

)

=

(

P

(

x

,

y

,

z

)

,

Q

(

x

,

y

,

z

)

,

R

(

x

,

y

,

z

)

)



F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))









F

(

x

,



y

,



z

)



=







(

P

(

x

,



y

,



z

)

,



Q

(

x

,



y

,



z

)

,



R

(

x

,



y

,



z

))









, дивергенция div

 

F



\text{div} \, F









div





F









 определяется как
div

 

F

=

∂

P



∂

x





+

∂

Q



∂

y





+

∂

R



∂

z







\text{div} \, F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}









div





F



=











∂

x















∂

P









�



















+











∂

y















∂

Q









�



















+











∂

z















∂

R









�



























Это показывает, насколько интенсивно векторное поле "втягивается" или "выталкивается" из заданной точки.







Различия



Операнды



Градиент применяется к скалярной функции (функции с одним значением в каждой точке пространства), в то время как дивергенция применяется к векторному полю (функции, которая сопоставляет каждой точке пространства вектор).





Результат



Градиент дает вектор, указывающий на направление наибольшего изменения функции.

Дивергенция дает скалярное значение, измеряющее "расхождение" или "сжатие" векторного поля в заданной точке.







Пример



Рассмотрим движение жидкости в трехмерном пространстве. Пусть V

(

x

,

y

,

z

)



V(x, y, z)









V

(

x

,



y

,



z

)









 - это векторное поле скорости жидкости. Градиент ∇

V



\nabla V









∇

V









 показывает, как быстро меняется скорость жидкости в каждой точке пространства. Дивергенция div

 

V



\text{div} \, V









div





V









 дает нам представление о том, есть ли источник или сток жидкости в данной точке пространства. Если дивергенция положительна в некоторой области, это может указывать на то, что в этой области есть источник, откуда жидкость "вытекает". Если дивергенция отрицательна, это может указывать на сток, куда жидкость "втягивается".

Читайте также по этой теме:

• Чем отличается электросварщик от электрогазосварщика
• Чем дорама отличается от фильма
• Чем биотатуаж отличается от татуажа
• Чем отличается ганаш от глазури
• Чем отличается самовывоз от доставки