Что такое первообразная и как она отличается от интеграла? Простое объяснение разницы между первообразной и интегралом

Понятия первообразной и интеграла тесно связаны с областью математики, известной как интегральное исчисление. Давайте разберем каждое из этих понятий подробно, начиная с первообразной.
Первообразная (антипроизводная)
:
Первообразная функции является понятием, обратным производной. Если у нас есть функция f
(
x
)

f(x)




f
(
x
)




, то ее первообразной является функция F
(
x
)

F(x)




F
(
x
)




, такая, что F
′

(
x
)
=
f
(
x
)

F'(x) = f(x)




F

′








(
x
)

=



f
(
x
)




, где символ F
′

(
x
)

F'(x)




F

′








(
x
)




 обозначает производную F
(
x
)

F(x)




F
(
x
)




.
Можно выразить это следующим образом:
F
′

(
x
)
=
f
(
x
)

F'(x) = f(x)




F

′








(
x
)

=



f
(
x
)





Однако стоит помнить, что первообразная функции не единственна. Если F
(
x
)

F(x)




F
(
x
)




 - первообразная функции f
(
x
)

f(x)




f
(
x
)




, то любая функция вида F
(
x
)
+
C

F(x) + C




F
(
x
)

+



C




, где C

C




C




 - произвольная постоянная, также будет первообразной f
(
x
)

f(x)




f
(
x
)




.
Интеграл
:
Интеграл - это обратный процесс дифференцирования. Он представляет собой метод нахождения площади под кривой или нахождение "суммы" бесконечно малых изменений величины. Существует два основных вида интегралов - определенный и неопределенный.
Неопределенный интеграл
:

Неопределенный интеграл, также известный как интеграл от функции без заданных пределов, это процесс нахождения первообразной функции. Формально это записывается как:
∫
f
(
x
)
 
d
x
=
F
(
x
)
+
C

\int f(x) \, dx = F(x) + C




∫

f
(
x
)

d
x

=



F
(
x
)

+



C





где F
(
x
)

F(x)




F
(
x
)




 - первообразная функции f
(
x
)

f(x)




f
(
x
)




, а C

C




C




 - постоянная интеграции (интегральная константа).
Определенный интеграл
:

Определенный интеграл используется для нахождения значения определенной площади под кривой в заданных пределах. Он записывается следующим образом:
∫
a
b

f
(
x
)
 
d
x

\int_{a}^{b} f(x) \, dx




∫

a




b




�








f
(
x
)

d
x





где a

a




a




 и b

b




b




 - нижний и верхний пределы интегрирования соответственно.
Таким образом, основное различие между первообразной и интегралом заключается в том, что первообразная является функцией, обратной к производной данной функции, тогда как интеграл представляет собой процесс нахождения площади под кривой или суммы бесконечно малых изменений величины в заданных пределах. Первообразная связана с интегралом как его обратная операция - поиск функции, производной которой является исходная функция.

Свежая подборка познавательных статей:

• Чем роналду отличается от роналдо
• Чем отличается послед от плаценты
• Чем отличаются кеды от слипонов
• Изософт чем отличается от синтепона
• Чем отличается штоф от графина