Что такое поле и как оно отличается от кольца? Примеры полей и колец в математике

Поле и кольцо являются двумя важными математическими структурами, используемыми в алгебре и алгебраической геометрии. Они оба представляют собой множество с определёнными операциями, но имеют некоторые существенные различия.

Поле



Определение

 Поле - это множество F



F









F









, на котором определены две бинарные операции, обычно обозначаемые как сложение +



+









+









 и умножение ⋅



\cdot









⋅









, которые удовлетворяют определённым аксиомам.

Аксиомы поля

Закрытость относительно сложения и умножения Для любых a

,

b

∈

F



a, b \in F









a

,



b



∈







F









, a

+

b



a + b









a



+







b









 и a

⋅

b



a \cdot b









a



⋅







b









 также принадлежат F



F









F









.

Ассоциативность сложения и умножения Для всех a

,

b

,

c

∈

F



a, b, c \in F









a

,



b

,



c



∈







F









, (

a

+

b

)

+

c

=

a

+

(

b

+

c

)



(a + b) + c = a + (b + c)









(

a



+







b

)



+







c



=







a



+







(

b



+







c

)









 и (

a

⋅

b

)

⋅

c

=

a

⋅

(

b

⋅

c

)



(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)









(

a



⋅







b

)



⋅







c



=







a



⋅







(

b



⋅







c

)









.

Коммутативность сложения и умножения Для всех a

,

b

∈

F



a, b \in F









a

,



b



∈







F









, a

+

b

=

b

+

a



a + b = b + a









a



+







b



=







b



+







a









 и a

⋅

b

=

b

⋅

a



a \cdot b = b \cdot a









a



⋅







b



=







b



⋅







a









.

Существование нулевого элемента Существует элемент 0



0









0









, называемый нулём, такой что для любого a

∈

F



a \in F









a



∈







F









, a

+

0

=

a



a + 0 = a









a



+







0



=







a









.

Существование единичного элемента Существует элемент 1



1









1









, называемый единицей, такой что для любого a

∈

F



a \in F









a



∈







F









, a

⋅

1

=

a



a \cdot 1 = a









a



⋅







1



=







a









.

Существование обратного элемента Для каждого элемента a

∈

F



a \in F









a



∈







F









 существует элемент −

a



-a









−

a









 такой, что a

+

(

−

a

)

=

0



a + (-a) = 0









a



+







(

−

a

)



=







0









, и для каждого a

≠

0



a \neq 0









a





�















=









0









 существует элемент a

−

1







a^{ -1}









a



−

1

























 такой, что a

⋅

a

−

1





=

1



a \cdot a^{ -1} = 1









a



⋅







a



−

1



















=







1









.

Дистрибутивность умножения относительно сложения Для всех a

,

b

,

c

∈

F



a, b, c \in F









a

,



b

,



c



∈







F









, a

⋅

(

b

+

c

)

=

a

⋅

b

+

a

⋅

c



a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c









a



⋅







(

b



+







c

)



=







a



⋅







b



+







a



⋅







c









.







Пример поля Множество рациональных чисел Q



\mathbb{Q}









Q









. На множестве рациональных чисел определены операции сложения и умножения, и они удовлетворяют всем вышеперечисленным аксиомам поля.



Кольцо



Определение

 Кольцо - это множество R



R









R









, на котором определены две бинарные операции, сложение +



+









+









 и умножение ⋅



\cdot









⋅









, которые также удовлетворяют определённым свойствам. Важно отметить, что в кольце может не быть обратных элементов относительно умножения.

Аксиомы кольца

Кольцо замкнуто относительно сложения и умножения.

Ассоциативность сложения и умножения.

Дистрибутивность умножения относительно сложения.

Существование нулевого элемента и единицы, таких что 0

≠

1



0 \neq 1









0





�















=









1









.

Кольцо может быть коммутативным или некоммутативным в отношении умножения.







Пример кольца Кольцо целых чисел Z



\mathbb{Z}









Z









. В кольце целых чисел определены операции сложения и умножения, и они удовлетворяют всем вышеперечисленным аксиомам кольца. Однако, кольцо целых чисел не является полем, так как не все элементы имеют обратные элементы относительно умножения (например, обратного элемента для 2



2









2









 нет в кольце целых чисел).





Таким образом, основное различие между полем и кольцом заключается в наличии обратных элементов относительно умножения в поле они обязательны, в то время как в кольце они не обязательны.

Свежая подборка познавательных статей:

• Чем отличается слайсер от ломтерезки
• Чем отличается плуг от сохи
• Чем talk отличается от talk
• Чем отличается припускание от варки
• Чем отличается хамон от прошутто