Что такое кольцо и почему оно важно? Почему поле отличается от кольца и как это влияет на математику?

Чтобы понять разницу между кольцом и полем в математике, давайте начнем с определений этих двух понятий.

Кольцо (Ring):

Определение: Кольцо - это алгебраическая структура, состоящая из множества элементов, обладающих операциями сложения и умножения, удовлетворяющими определенным аксиомам.
Операции: В кольце определены две основные операции: сложение и умножение.
Свойства:
Сложение в кольце ассоциативно и коммутативно.Существует нейтральный элемент по сложению (нулевой элемент).Умножение ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения.В общем случае, умножение в кольце не коммутативно.Может существовать нейтральный элемент по умножению (единичный элемент), но не всегда.В кольце могут быть обратимые и нулевые элементы.

Поле (Field):

Определение: Поле - это специальный тип кольца, в котором каждый ненулевой элемент обладает обратным по умножению.
Операции: Помимо сложения и умножения, в поле также определено деление (за исключением деления на ноль).
Свойства:
В поле действуют все свойства кольца.Каждый ненулевой элемент обладает обратным по умножению.Поле является коммутативным по умножению.В поле существует нейтральный элемент по умножению (единица).

Пример:

Давайте рассмотрим пример кольца и поля на множестве целых чисел.

Кольцо целых чисел (Ring of Integers):



Множество: Множество всех целых чисел {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Операции:
Сложение: Определяется как обычное сложение целых чисел.Умножение: Определяется как обычное умножение целых чисел.

Примеры:
2 + 3 = 52 * 3 = 6

Свойства:
Сложение и умножение обладают свойствами ассоциативности и коммутативности.Существует нейтральный элемент по сложению (0).Умножение дистрибутивно относительно сложения.Нет нейтрального элемента по умножению (нет единицы).Есть обратимые элементы (например, 1 и -1), а также нулевые элементы.

Поле рациональных чисел (Field of Rational Numbers):



Множество: Множество всех рациональных чисел, обозначается как Q.
Операции:
Сложение и умножение определяются как обычно для рациональных чисел.Деление определяется для всех ненулевых элементов.

Примеры:
2 + 3 = 52 * 3 = 62 / 3 = 2/3

Свойства:
Все свойства кольца также применяются.Каждый ненулевой элемент (например, 2) имеет обратный элемент по умножению (1/2).Поле рациональных чисел коммутативно по умножению.Есть нейтральные элементы как по сложению (0), так и по умножению (1).

Рекомендуемые материалы по теме:

• Чем отличается бронхит от бронхиолита
• Чем конференция отличается от федерации
• Чем отличается вмененка от упрощенки
• Чем отличается поп от рока
• Чем отличается конкурс от аукциона